解答:余りを求める問題
(1) 2021 北里大学 医療衛生学部 一般入学試験(前期)
(ⅰ)
整式 $P(x)$ を $x-1$, $x+2$, $x^2+1$ で割ったときの商をそれぞれ $\mathrm{ Q }_1(x)$, $\mathrm{ Q }_2(x)$, $\mathrm{ Q }_3(x)$ とすると、
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
P(x)=(x-1)\mathrm{ Q }_1(x) …① \\
P(x)=(x+2)\mathrm{ Q }_2(x)-3 …② \\
P(x)=(x^2+1)\mathrm{ Q }_3(x)+1 …③
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
よって
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
P(1)=0 …①' \\
P(-2)=-3 …②'
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
ここで、整式 $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの商を $\mathrm{ Q }_4(x)$とすると
$(x-1)(x+2)$ は $x$ の2次式なので、
$P(x)=(x-1)(x+2)\mathrm{ Q }_4(x)+ax+b$
とおける。($a,b$ は実数)
①'②'より
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
P(1)=a+b=0 \\
P(-2)=-2a+b=-3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$\therefore a=1$, $b=-1$
よって、求める余りは $x-1$
(ⅱ)
整式 $\mathrm{ Q }_3(x)$ を $x-1$ で割ったときの商を $\mathrm{ Q }_5(x)$とすると
$x-1$ は $x$ の1次式なので、
$\mathrm{ Q }_3(x)=(x-1)\mathrm{ Q }_5(x)+c$
とおける。($c$ は実数)
③へ代入し、
$\begin{eqnarray}
P(x) &=& (x^2+1)\{(x-1)\mathrm{ Q }_5(x)+c\}+1 \\
\Leftrightarrow P(x) &=& (x^2+1)(x-1)\mathrm{ Q }_5(x)+(x^2+1)c+1
\end{eqnarray}$
①'より
$P(1)=2c+1=0$
$\therefore c=-\dfrac{1}{2}$
求める余りは $(x^2+1)c+1=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}$
(2) 2019 北里大学 看護学部 一般
(ⅰ)
$a=12x+7$ とすると ($x$ は整数)
$a=4(3x+1)+3$
よって求める余りは $3$
(ⅱ)
$a \equiv 7 \pmod {12}$
$b \equiv 10 \pmod {12}$
であるから
$\begin{eqnarray}
a-b &\equiv& -3 \pmod {12} \\
\therefore a-b &\equiv& 9 \pmod {12}
\end{eqnarray}$
よって求める余りは $9$
(ⅲ)
$\begin{eqnarray}
ab &\equiv& 70 \pmod {12} \\
\Leftrightarrow ab &\equiv& 10 \pmod {12}
\end{eqnarray}$
$\therefore a^2b^2=(ab)^2 \equiv 100 \pmod {12}$
$\Leftrightarrow a^2b^2 \equiv 4 \pmod {12}$
よって求める余りは $4$
解答:大きい数を割ったときの余りを求める問題
(3) 2019 杏林大学 臨検・臨工・放射
(ⅰ)
$2=5\times0+2$ より、求める余りは $2$
(ⅱ)
$2^3=8$ より $2^3 \equiv 8 \pmod 5$
$\therefore 2^3 \equiv 3 \pmod 5$
よって求める余りは $3$
(ⅲ)
(ⅱ)より $2^5 \equiv 3\times2^2 \pmod 5$
$\therefore 2^5 \equiv 2 \pmod 5$
よって求める余りは $2$
(ⅳ)
(ⅲ)より $2^{10}=2^5\times2^5 \equiv 4 \pmod 5$
よって $2^{20}=2^{10}\times2^{10} \equiv 16 \pmod 5$
$\Leftrightarrow 2^{100}=(2^{20})^5 \equiv 1^5 \pmod 5$
$\Leftrightarrow 2^{100} \equiv 6 \pmod 5$
2と5は互いに素なので $2^{99} \equiv 3 \pmod 5$
よって求める余りは $3$
(4) 2020 東京純心大学 看護学部
$2^8=256 \equiv 4 \pmod 7$
$\begin{eqnarray}
\therefore 2^{32}=(2^8)^4 &\equiv& 4^4 \pmod 7 \\
\Leftrightarrow 2^{32} &\equiv& 4 \pmod 7
\end{eqnarray}$
よって求める余りは $4$
